CF865E
首先考虑差的性质,也就是 $S = \sum_{i} a_i - b_i$ 我们会发现如果没有进位这个值就是 $0$,不然如果有进位那么每一位会多出来 $15$ 的贡献,可以发现合法的情况是 $S \equiv 0 \pmod {15}$。
不然就是不合法的。
然后我们需要钦定有多少位是进位的,复杂度是 $\binom{13}{6}$ 可以接受的样子。
又因为 $b$ 是 $a$ 的置换,本质上我们可以看成 $a_i - a_{p_i}$。我们不妨将这种情况连边 $i \to p_i$。可以连接成若干个环。对于每一个点的权值 $w_i = a_i - a_{p_i}$。但是对于每一个环我们统一进行处理会更加方便,也就是将整个环 $-1$ 直到出现 $0$。将两个 $0$ 点进行连边即可。
我们进行计算的时候因为对于图上来说,我们如果钦定了一个开始点,剩余的点本身就是一个差分,我们要还原之前的值就是前缀和。
我们再考虑一下 $S$ 的性质,发现 $15 = 16 - 1$ 也就是说明 $16 \times \frac{S}{15} - \frac{S}{15} = S$ 所以我们可以让 $\frac{S}{15}$ 作为一个答案,然后 $b$ 的最高位是 $0$。 如果 $S$ 的最高位是 $f$ 显然 $b$ 的最高位也是 $0$。
我们考虑进行一个 $Dp$。因为已经知道 $b$ 的最高位是 $0$,所以 $a$ 的最高位直接就可以是 $S_{mx}$。然后剩余的位置本质上和求 $a$ 是一样的,我们直接通过前缀和进行计算即可。
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   | #include <bits/stdc++.h> using namespace std;
 
 
 
  #ifdef Fread char buf[1 << 21], *iS, *iT; #define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++) #define getchar gc #endif 
  template <typename T> void r1(T &x) { 	x = 0; 	char c(getchar()); 	int f(1); 	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1; 	for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48); 	x *= f; }
  #ifdef Getmod const int mod  = 1e9 + 7; template <int mod> struct typemod {     int z;     typemod(int a = 0) : z(a) {}     inline int inc(int a,int b) const {return a += b - mod, a + ((a >> 31) & mod);}     inline int dec(int a,int b) const {return a -= b, a + ((a >> 31) & mod);}     inline int mul(int a,int b) const {return 1ll * a * b % mod;}     typemod<mod> operator + (const typemod<mod> &x) const {return typemod(inc(z, x.z));}     typemod<mod> operator - (const typemod<mod> &x) const {return typemod(dec(z, x.z));}     typemod<mod> operator * (const typemod<mod> &x) const {return typemod(mul(z, x.z));}     typemod<mod>& operator += (const typemod<mod> &x) {*this = *this + x; return *this;}     typemod<mod>& operator -= (const typemod<mod> &x) {*this = *this - x; return *this;}     typemod<mod>& operator *= (const typemod<mod> &x) {*this = *this * x; return *this;}     int operator == (const typemod<mod> &x) const {return x.z == z;}     int operator != (const typemod<mod> &x) const {return x.z != z;} }; typedef typemod<mod> Tm; #endif
  template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {     r1(t);  r1(args...); }
  #define int long long const int maxn = (1 << 17) + 5; const int maxm = maxn << 1; const int inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; int ans(inf); int d[20]; int lg[maxn], f[maxn], sum[maxn];
  char c[20];
  int n;
  void Work() {     int z = (1 << (n - 1)) - 1;     memset(f, 0x3f, sizeof(f));     auto lowbit = [&] (int x) {return x & -x;};     sum[0] = d[n - 1]; f[0] = 0;     for(int i = 1; i <= z; ++ i)         sum[i] = sum[i - lowbit(i)] + d[lg[lowbit(i)]];     if(sum[z] < 0 || sum[z] > 15) return ;     for(int i = 0; i <= z; ++ i) {         if(sum[i] < 0 || sum[i] > 15) continue;         for(int j = 0; j < n; ++ j) if(!((i >> j) & 1)) {             f[i | (1 << j)] = min(f[i | (1 << j)], f[i] + (sum[i] << (j << 2)));         }     }     ans = min(ans, f[z]); }
  void dfs(int u,int ct) {     if(u == n - 1) {         if(!ct) Work();         return ;     }     if(n - u > ct) dfs(u + 1, ct);     if(ct) {         d[u] -= 16, d[u + 1] ++;         dfs(u + 1, ct - 1);         d[u] += 16, d[u + 1] --;     } }
  signed main() {
 
      int i, j, sum(0);     scanf("%s", c), n = strlen(c);     for(i = 0; i < n; ++ i) {         if(isdigit(c[i])) d[i] = c[i] - '0';         else d[i] = c[i] - 'a' + 10;         sum += d[i];     }     reverse(d, d + n);     for(i = 0; i < n; ++ i) lg[1 << i] = i;
 
      if(sum % 15) return puts("NO"), 0;     dfs(0, sum / 15);
      if(ans == inf) return puts("NO"), 0;     else {
          vector<int> st;         while(ans) st.push_back( ans % 16 ), ans /= 16;         while(st.size() < n) st.push_back(0);         reverse(st.begin(), st.end());         vector<char> vis(20, 0);         for(i = 0; i <= 9; ++ i) vis[i] = '0' + i;         for(i = 10; i < 16; ++ i) vis[i] = i - 10 + 'a';         for(auto v : st) putchar(vis[v]);         puts("");
 
      }
  	return 0; }
   |